Odvození rychlosti světla

Tato část obsahuje matematické odvození vlnové rovnice z Maxwellových rovnic a výpočet rychlosti světla. Na závěr je ukázáno, že pokud by rychlost světla byla relativní, pak by Maxwellovy rovnice musely vypadat v každém inerciálním systému jinak.

Vlnová rovnice

1. Vyjdeme z Maxwellových rovnic v diferenciálním tvaru, z nichž nejdříve sestavíme vlnovou rovnici, tu vyřešíme a z nalezené rovnice postupné vlny vyjádříme její fázovou rychlost:
   

   rot H = J +D / t

   rot E = -B / t

   div E = ρ

   div B = 0

   ---

2. Řešení provedeme pro vakuum, daleko od zdrojů, kde se některé výrazy zjednoduší (proudová hustota J je nulová, stejně tak hustota náboje ρ, dále platí, že B = μH, D = εE, kde ε je permitivita a μ je permeabilita prostředí):
   

   rot H = ε E / t

   rot E = -μ H / t

   div E = 0

   div B = 0

3. Najdeme například výraz pro elektrickou intenzitu E, čili použijeme druhou Maxwellovu rovnici tak, že ji zrotujeme (pro H je postup obdobný - vyjde se z první rovnice):

   rot rot E = -μ (rotH) / t

4. Teď dosadíme za "rot H" pravou stranu první rovnice

   rot rot E = -εμ2E/t2

5. Použijeme vektorovou identitu "rot rot = grad div - Δ". Jelikož div E = 0, rovnou vypadne člen "grad div E":

   ΔE -εμ2E/t2 = 0

   
   Toto je vlnová rovnice pro E = E(x,y,z,t).
   


6. Řešením najdeme rovnici postupné vlny (omezíme se na případ, kdy E se šíří pouze ve směru osy x a kmitá jen v rovině xy):

   E(x,t) = E sin (ωt - xω(εμ)1/2) y

   
   kde y je jednotkový vektor na ose y. Čísla ω a E jsou integrační konstanty: E má význam amplitudy, ω je úhlová frekvence. Je vidět, že u nezávisle proměnné x se objevil člen (εμ)^1/2, který má význam převrácené hodnoty fázové rychlosti postupu této vlny, čili naše hledaná rychlost je 1/(εμ)^1/2. Jestliže dosadíme hodnoty pro vakuum (ε = 8,854.10^-12 F/m, μ = 1,256.10^-6 H/m), dostaneme c = 299 871,658 km/s, čili rychlost světla ve vakuu.

Vliv Galileovy transformace

Představme si rovinnou elektromagnetickou vlnu, šířící se ve směru osy x v nějakém inerciálním systému. Ve stejném směru se vzhledem k tomuto systému pohybuje jiný inerciální systém rychlostí v. Jestliže v obou systémech platí stejné Maxwellovy rovnice, pak musí v obou nastat například rovnost H=E=0 na stejném místě (určeném transformací mezi oběma systémy). V prvním systému se vlnoplocha H=E=0 pohybuje rychlostí c. Pokud by platila Galileova transformace, pohybovala by se ve druhém systému vlnoplocha H=E=0 rychlostí c-v, čili v tomto systému by musel být jiný tvar Maxwellových rovnic: výslovně by v nich vystupovala rychlost v vůči etheru. Nikdy však nebylo změřeno, že by Maxwellovy rovnice závisely na použité vztažné soustavě - rychlost pohybu na ně nemá vliv. Řídí se tedy Lorentzovou transformací, nikoli Galileovou transformací.