Obecná relativita matematicky
Z důvodů velké složitosti matematického popisu obecné teorie relativity uvádím pouze základní vztahy, vyjadřující hlavní myšlenky. Tato část navíc neoplývá přílišnou exaktností, je jenom jakýmsi okénkem do relativistické kuchyně a kdo nerozumí tenzorovému počtu a diferenciální geometrii, asi se ztratí.
| Postuláty obecné relativity |
| K matematickému formalismu |
| Rovnice gravitace |
| Některá řešení Einsteinových rovnic |
| Dráhy těles v prostoročasu |
Postuláty obecné relativity
- Všechny děje dopadnou v jakémkoli souřadnicovém systému stejně.
- Zrychlení nelze odlišit od gravitace.
K matematickému formalismu
Rovnice obecné teorie relativity jsou plné tenzorů a podobných abstraktních objektů vyšší matematiky. Proč byl vlastně zvolen takový náročný matematický jazyk? Především proto, že tenzory se při změně souřadnic chovají slušně: zachovávají tvar fyzikálních zákonů. Jeden z relativistických postulátů říká, že fyzikální zákony jsou v každé souřadné soustavě stejné, což v rovnicích zajistíme tím, že je zapíšeme pomocí tenzorů.
Druhý problém je, že tenzory v obecné relativitě bývají vyšších řádů. Nejsou to vektory nebo skaláry, jako v Newtonově teorii gravitace. Proč si obecná teorie relativity nevystačí s vektory a potřebuje například Riemannův tenzor křivosti, který je čtvrtého řádu? Je to z toho důvodu, že k popisu zakřivení čtyřrozměrného časoprostoru pouhé vektory v žádném případě nestačí. Zakřivení v každém bodě totiž záleží na směru a má dost komplikovanou podobu.
Rovnice gravitace
Matematický popis vychází z toho, že každé těleso svou přítomností zakřivuje okolní prostor a čas. Rovnice gravitace by tedy měla vypadat zhruba takto:
| Zakřivení časoprostoru = rozmístění hmoty |
Rozmístění hmoty je popsáno pomocí tenzoru energie a hybnosti Tμν. Geometrii prostoročasu určuje metrický tenzor gμν, který je v rovnici gravitace hledaná neznámá a má význam gravitačního potenciálu. Metrický tenzor ovšem nepopisuje přímo křivost a nemůže tedy být samotný použit na levé straně rovnice. Může být totiž nekonstantní i tam, kde je časoprostor plochý (například v různých neinerciálních soustavách). Křivost nám spolehlivě popíše až nějaký objekt, který obsahuje druhé derivace metrického tenzoru.
Zavedeme Christoffelův symbol jako
 |
kde čárka před indexem znamená parciální derivaci 
(pro přehlednost). Christoffelovy symboly tedy obsahují první derivace metrického tenzoru a mají fyzikální význam gravitačních nebo setrvačných sil. Nenulové Christoffelovy koeficienty jsou tedy buď v přítomnosti zdroje gravitace, nebo pokud jsme v neinerciální soustavě (přičemž nikde poblíž nemusí být žádný zdroj gravitačního pole). Druhé derivace metrického tenzoru obsahuje Riemannův tenzor křivosti:
 |
Tento tenzor je nenulový pouze v přítomnosti gravitace. Navíc ho není možné vynulovat žádnou volbou souřadnic, tak jako Christoffelův symbol. V jakýchkoli souřadnicích nám spolehlivě řekne, jestli je v daném bodě časoprostor zakřiven nebo ne. Takové spolehnutí není ani na metrický tenzor ani na Christoffelův symbol.
Zúžení Riemannova tenzoru je Ricciho tenzor:
 |
Ricciho tenzor popisuje křivost časoprostoru způsobenou bezprostřední přítomností hmoty. Einstein chtěl původně na levé straně své rovnice gravitace použít přímo Ricciho tenzor, protože je druhého řádu a obsahuje druhé derivace metriky - nabízí se tedy jako vhodný partner pro tenzor energie a hybnosti. Ovšem taková rovnice by nezachovávala hybnost a energii, proto bylo potřeba levou stranu mírně upravit. K tomu zavedeme ještě jednu veličinu - skalární křivost:
 |
Nyní můžeme popsat vztah metriky a hmoty rovnicí:
 |
Konstanta k = 8πG/c2, kde G = 6,67.10-11 je Newtonova gravitační konstanta a c je rychlost světla. Tato rovnice gravitace pro neznámý metrický tenzor gμν představuje soustavu deseti nelineárních parciálních diferenciálních rovnic druhého řádu. Nelinearita je způsobena tím, že samo gravitační pole je nositel energie a je tedy také zdrojem další gravitace. Einstein svého času ještě do rovnice přidal kosmologickou konstantu Λ, takže na levé straně se navíc objevil člen Λgμν, ale pak ji zrušil jako produkt omylu, ovšem ukázalo se, že to možná zas tak velký omyl nebyl (to už je ale jiný příběh). Nic se nestane, budeme-li ji pro jednoduchost považovat za nulovou, ovšem v moderní kosmologii má svůj význam.
Některá řešení Einsteinových rovnic
Roku 1916 našel Karl Schwarzchild řešení těchto rovnic pro statickou, sféricky symetrickou hvězdu, jehož metrika je:
| ds2=-(1-2GM/c2r)c2dt2+(1-2GM/c2r)-1dr2+r2dΘ2+r2 sin2Θdφ2 |
ve sférických souřadnicích. G je Newtonova gravitační konstanta. Element je zjevně singulární pro:
| r = 2GM/c2 |
Tato hodnota se nazývá gravitační poloměr (též Schwarzschildův) - těleso hmotnosti M stlačené pod tento poloměr se stává černou dírou. Například pro Zemi (6.1024 kg) je zhruba 8,9 milimetrů.
Řešení rovnic pro celý vesmír poskytuje metriku ve tvaru:
| ds2=-c2dt2+R2(t)[dr2/(1-kr2)+r2dΘ2+r2 sin2Θdφ2] |
pro rozpínající se vesmír ve sférických souřadnicích. R(t) je škálový faktor. Kritická hustota pro plochý vesmír (s nulovou křivostí) je:
| ρc = 3H2/(8πG) |
kde H je Hubbleova konstanta (H = v/R, čili úměra mezi rychlostí vzdalování a vzdáleností objektů). Je přibližně 71 (km/s)/Mpc.
Teorie navíc předpovídá i existenci gravitačních vln, což je periodické zakřivování časoprostoru, postupující rychlostí světla. V lineárním přiblížení (gravitační vlny jsou velmi slabé) ve vakuu lze metrický tenzor gμν rozdělit na dvě části: gμν = ημν + hμν, kde ημν je metrika plochého časoprostoru a hμν jsou drobné odchylky od ní vyhovující vlnové rovnici
|
Dráhy těles v prostoročasu
V předchozí části byl vytvořen prostor. V takovém prostoru se podle obecné relativity tělesa snaží pohybovat po nejkratších možných drahách, což jsou vlastně dráhy "volného pádu". Je jedno, jestli někam padáme nebo ne - obojí je jenom spolupráce s tvarem časoprostoru; teprve náraz na zem nebo urychlení vůči soustavě spojené s takovou nejkratší drahou časoprostorem, je vychýlením z nejkratší dráhy a může případně zabolet. Diferenciální geometrie učí, že na dané varietě má ze všech křivek spojujících dva body nejkratší oblouk geodetická křivka (geodetika), pro kterou platí, že její pravoúhlý průmět do tečného prostoru má nulovou křivost v každém jejím bodě. Lze odvodit:
 |
což je diferenciální rovnice druhého řádu pro parametrické vyjádření geodetiky ve tvaru xμ = xμ(λ), kde μ = 0,1,2,3. Na trajektorii, splňující předchozí rovnici, bychom tedy nepociťovali setrvačnou sílu. Jakékoli vychýlení z takové dráhy (pomocí motoru, zaražením se o povrch planety, držením se skalní stěny, ...) je provázeno pocitem působící síly (v dané soustavě se objeví nenulové Christoffelovy koeficienty). Poznámka: pokud jsou Christoffelovy koeficienty nulové (nepůsobí tedy žádné gravitační ani setrvačné síly), z rovnice zbyde d2xμ/dλ2 = 0, což je rovnice přímky. To odpovídá skutečnosti, že v nepřítomnosti gravitace a sil je nejkratší spojnice dvou bodů část přímky.
Dva body v časoprostoru lze spojit různými křivkami (světočárami). Pokud taková křivka nikde nepřekročí rychlost světla, nazýváme ji světočára časového typu (ne každé dva body lze takovou světočárou spojit!). Odpovídá-li světočára právě rychlosti světla, jedná se o nulovou světočáru (nulové délky). Při překročení rychlosti světla hovoříme o světočáře prostorového typu. U světočáry časového typu se používá termín vlastní čas. To je čas, který naměří hodiny putující po dané světočáře xμ(λ). Platí, že ze všech světočar mezi týmiž dvěma body (které lze spojit světočárou časového typu) má geodetika nejdelší vlastní čas. Vztah pro výpočet vlastního času, který uplyne na dané světočáře:
 |
Jedná se o obdobu tohoto výrazu. S pomocí tohoto vztahu lze například spočítat vlastní čas cestujícího dvojčete v tzv. paradoxu dvojčat. Pro cestujícího pozorovatele se totiž mění metrický tenzor, když provádí obrat na své cestě. Během tohoto manévru pociťuje setrvačné síly, tedy v jeho soustavě jsou nenulové Christoffelovy koeficinety. Riemannův tenzor ovšem zůstává nulový (pokud neprovádíme obrat u nějaké hmotné hvězdy, ale tím si to komplikovat nemusíme). Nenulové Christoffelovy koeficienty tedy způsobí, že je nekonstantní metrický tenzor cestujícího dvojčete a to ovlivní jeho vlastní čas.